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NotaPublicado: Jue Mar 01, 2018 9:54 pm 
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En la excelente película "The Martian", cuando se está intentando salvar a Mark Watney y a la NASA les ha explotado la nave con la que le enviaban suministros, aparece un simpático y descuidado personaje del JPL llamado Rich Purnell que es especialista en Astrodinámica, que idea un nuevo plan que puede rescatar al astronauta abandonado en Marte... Y eso de la Astrodinámica me despertó la curiosidad, hasta que al rebuscar un poco en el tema de las órbitas y navegación espacial comprobé que es un asunto mucho más complejo de lo que nuestra intuición en un principio nos dice...

Por ejemplo, este nuevo satélite español, el PAZ, según habéis dicho, tiene una órbita polar (o casi) a un altura de 514 Km, lo cual me hace preguntarme por otras características de su "vuelo" y la visibilidad que pueda tener desde las estaciones terrestres...

Buscando un poco por ahí encuentro la fórmula para calcular el período orbital de un objeto cuya masa sea insignificante en relación al astro que orbita, como es el caso de un satélite artificial y la Tierra. La fórmula es la siguiente:

Imagen

Siendo:
T ...el período orbital en segundos
a ...la "altura" orbital en metros
G ...la Constante de Gravitación Universal
M ...la masa de la Tierra en Kg

Si racionalizamos un poco esta fórmula nos queda:

Imagen

...Ahora bien, la altura "a" no se refiere realmente a la que entendemos como "orbital", si no la distancia entre el satélite y el centro de la Tierra, con lo cual a la altura de la órbita sobre la superficie del mar debemos sumarle el radio de la Tierra, y la fórmula nos quedará como:

Imagen

Siendo, naturalmente "Rt" el radio de la Tierra, y "Ao" la altura orbital sobre el nivel del mar.

A la vez, los datos conocidos son:

- Radio de la Tierra es de 6.370 Km.
- Constante de Gravitación Universal "G" es de 6,67·10^-11.
- La masa de la Tierra de 5,98·10 ^24 Kg.

Si comenzamos los cálculos:

(Rt + Ao)^3 es (6,37·10^6 + 5,14·10^5)^3 que es igual a: 3,26229·10^20

(G·M) es (6,67·10^-11 · 5,98·10 ^24) que es igual a: 3,98866·10^14

La división de ambos valores es: (3,26229·10^20) / (3,98866·10^14) es igual a: 0,81789·10^6

La raíz cuadrada de 0,81789·10^6 es: 904,372

El resultado T del período orbital del satélite PAZ es de: 904,372 · 2pi = 5682,336 segundos

Pasados a horas 5682,336 / 3600 = 1,578 horas

Así que si no me he errado en los cálculos, este satélite dará 24 / 1,578 = 15,209 órbitas al día

Vale, eso es solo un principio ya que lo vamos a utilizar para cálculos posteriores en que deberé rescatar procedimientos totalmente olvidados como la geometría esférica de mis viejos libros de Astronomía Náutica... y ya veremos que sale de todo ello... :?

Continuará...

Un saludo a todos

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NotaPublicado: Vie Mar 02, 2018 12:59 pm 
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Vale, que el satélite en órbita polar dé 15,209 órbitas al día significa que tales órbitas que pasan por ambos polos están separadas entre ellas:

360 / 15,209 = 23,67º

Algo que es obvio pero en lo que no todos caen, es que las órbitas del satélite (en caso de que no lleve impulsores para modificarla) son siempre la misma, él se mueve siempre en el mismo plano espacial, y el que vaya explorando diferentes "gajos" de la Tierra se debe únicamente al giro de ésta.

...A la vez, el detalle que el satélite dé 15,209 órbitas en 24 horas y no exactamente 15 o 16, tiene gran importancia, porque este 0,209 adicional sobre 15 hace que estas órbitas se vayan desplazando cada día con respecto a la superficie de la Tierra, con lo cual cambia la vertical de los puntos en donde pasa. Naturalmente, el satélite no pasará exactamente sobre todos y cada uno de los puntos de la Tierra, ni siquiera en un año orbitando, pero como sus cámaras pueden orientarse en un cierto ángulo Este-Oeste sin perder demasiada resolución, la franja explorada en poco tiempo será la totalidad.

¿Y de cuanto sería este "desplazamiento" diario? Calculémoslo:

360 x 0,209 / 15,209 = 6,827º

Otro detalle es que imaginamos que el camino del satélite norte-sur-norte es siguiendo los meridianos, pero en realidad no es así, porque mientras él va orbitando entre los polos, la tierra va girando hacia el este (hacia levante), con lo cual, en realidad, su "camino" estará inclinado un poco hacia el oeste (poniente). Si cada órbita duraba 1,578 horas, media durará 0,789 horas, y en este tiempo la Tierra habrá girado:

360 x 0,789 / 24 = 11,835º

...que será precisamente la "inclinación" del "paso aparente" del satélite con respecto a los meridianos terrestres, lo cuales, por definición, sí marcan exáctamente la línea norte-sur.

Ahora un concepto que utilizaba hace años en Astronomía Náutica. Se trata del llamado "Polo de Iluminación del astro" (en este caso del satélite), que no es más que el punto de proyección sobre la superficie, en el cual si se encontrara una persona, tendría el satélite en la vertical sobre su cabeza.

Bueno, ya hemos deducido algunos datos más e introducido algunos conceptos, pero ¿todo esto qué significa con respecto a una estación de seguimiento según en donde esté instalada?

Tomemos el caso de dos estaciones, una situada sobre el Ecuador, y la otra en la isla de Spitsbergen que ya cité, situada sobre el Círculo Polar Ártico.

El Ecuador, por definición está en latitud 0º, mientras que Spitsbergen está a 78,75º (78º 45') de latitud Norte. Entonces, si queremos calcular a qué distancia pasan las sucesivas órbitas del PAZ, debemos averiguar antes cual es la circunferencia del paralelo de lugar de ambos puntos.

- El paralelo del Ecuador, es el mismo Ecuador, y su circunferencia es:

Rt·2Pi que es 6.370 x 2 x Pi = 40.023 Km. ...que llamaremos Circunferencia de Ecuador (CPe)

- En el caso de Spitsbergen, la circunferencia de su paralelo (CPs) será:

PCs = CPe·cos ls, siendo Ce la circunferencia de Ecuador que ya hemos dicho, y "cos ls" el coseno de la latitud de Spitsbergen...

40.023 x cos 78,5 que es 40.023 x 0,1951 = 7.808 Km

Ahora, una vez sabemos cuanto mide la circunferencia de ambos paralelos, y sabiendo que las órbitas pasan a 23,67º, podemos averiguar a qué distancia una de otra pasan sobre ambas estaciones.

Para el Ecuador: 40.023 x 23,67 / 360 = 2.631 Km
Para Spitsbergen: 7.808 x 23,67 / 360 = 513 Km

Vemos por lo tanto que las órbitas sobre Spitsbergen están aproximadamente 5 veces más cerca entre ellas que en la estación de seguimiento del Ecuador, con lo cual, se supone que con tolerancias de +/- 1 órbita dependiendo del desplazamiento diario, en la glacial isla del Atlántico norte serán capaces de contactar con el satélite en cinco ocasiones por cada una del Ecuador...

Bien, ya hemos deducido algunos detalles más que calificaría de importantes, y de momento sin meternos en los berenjenales de la Geometría Esférica. Así que sentémonos a recapacitar y ver que más podemos averiguar sobre este tema...

Continuará...

Un saludo a todos

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NotaPublicado: Vie Mar 02, 2018 6:31 pm 
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Bueno, yo sigo con mis anuncios, bien pegado a la Tierra: el Hispasat se ha vuelto a posponer al 6 de Marzo, 5.30 UTC


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NotaPublicado: Dom Mar 04, 2018 2:04 pm 
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Siguiendo también con lo mío, que bien podría calificar como de "Astrodinámica de parvulario", añado un poco más al sub-tema que tantas pasiones parece despertar... :)

En el mensaje anterior comenté que a partir de este punto necesitaría meterme con la correosa geometría esférica... y esta mañana he acudido al estante de la librería donde tengo temas del mar y he cogido los dos tomos de la Astronomía Náutica y Navegación de Moreu Curvera, que a buen seguro recuerdan varias generaciones de marinos, tanto profesionales como deportivos.

En sus páginas me he tirado un par de horas intentando recordar los procedimientos que más utilicé hace treinta años, como era cálculo de la Altura Estimada de un astro o su Azimut, pero claro, las fórmulas están destinadas a encontrar una posición geográfica desconocida a partir de los ángulos de altura sobre el horizonte y el azimut de un astro de posición conocida, y yo más bien necesitaría lo contrario, aunque en este caso no es un astro si no un satélite, que por su órbita relativiza el giro terrestre, y además, por su cercanía a la Tierra tiene que presentar un enorme efecto de paralaje (que en astros solo afecta a la Luna), y que tampoco podría corregir por carecer de datos adicionales...

...En fin, debería reformular para lo que busco a partir de los "triángulos de posición" y las matemáticas nunca fueron un campo fácil para mí. Así que he optado por intentar resolver el problema gráficamente, que si bien va a introducir un cierto margen de error, no creo que llegue a ser determinante en el resultado. Así que tomo un papel y trazo a escala lo que sería una porción de un corte de la tierra, como si la hubiéramos seccionado en dos semiesferas siguiendo la línea del ecuador.

Imagen

Si ampliamos la imagen a solo la parte que nos interesa, queda así:

Imagen

Aquí vemos la curvatura de la tierra en el plano Este-Oeste siguiendo el contorno del ecuador, que al ser un "círculo máximo", su radio coincide con el de la Tierra, es decir 6370 Km. Luego, a una distancia de 514 Km. de su superficie, está la línea curva que llamo "capa orbital", que en la realidad estaría formada por infinitos puntos de paso de órbitas polares, es decir, en esta imagen el satélite no pasaría de izquierda a derecha o viceversa, si no que se saldría o entraría perpenticularmente del papel hacia o desde quien se lo está mirando.

...Bien, en el centro del sector de ecuador y sobre la superficie de la tierra podemos ver la hipotética estación "ecuatoriana" de seguimiento del satélites, con su antena parabólica y demás. Entonces, si estimamos que esta estación podrá contactar con el satélite si pasa a una "altura" de 10º o mayor sobre el horizonte, a partir de este punto podemos trazar una línea a derecha y otra a izquierda elevada estos 10º sobre la tangente que representa el horizonte, hasta que corte la capa orbital en los puntos A y D , que serán los puntos extremos entre los cuales la comunicación entre el satélite y la estación terrestre será posible ...Estos puntos forman dos arcos. Uno de ellos tiene como vértice el centro de la Tierra y con un transportador medimos que es de 28º, y un segundo sector con vértice en la estación, que ya conocemos por haberlo definido nosotros mismos con los 10º mínimos de elevación, que suma 180 - (10 + 10) = 160º.

...El primer arco es el que nos interesa, el de 28º, ya que habiendo calculado anteriormente que este satélite concreto tiene sus órbitas separadas 23,67º, podemos deducir que cada doce horas, el satélite pasará una o dos veces por aquí.

- Caso 1 para dos pasos del satélite: que el primer paso coincida con el punto A o como máximo 4,33º grados desplazado hacia la vertical de la estación, con lo cual el segundo paso entrará en lo que resta de arco hasta los 28º. Para valores superiores a 4,33º del punto A, el segundo paso ya sería "invisible" para la estación al trascurrir hacia poniente a menos de 10º del horizonte.

- Caso 2 para un solo paso del satélite: que el paso ocurra en el sub-arco de entre más de 4,33º y menos de 23,67º, en el cual, ni antes ni después hay espacio para una órbita sobre los 10º del horizonte.

...He dicho anteriormente que el satélite pasará más o menos cada doce horas dentro del alcance de esta estación, porque cuando la Tierra hay girado alrededor de medio día, el satélite volverá a pasar una o dos veces sobre ella, aunque en este caso con "rumbo" contrario al anterior, si antes era norte-sur (digámosle órbita descendente), después será sur-norte (órbita ascendente).

Vale ¿y cada cuánto se dará el caso de una y de dos pasadas? ...pues habiendo visto anteriormente que al no ser el número de órbitas diarias un entero, éstas estarán desplazadas 6,827º de un día para otro, y considerando el caso inicial que muestra el gráfico anterior, en órbita descendente (N-S), con primera pasada en el punto A, este día (que llamaremos cero) tendremos dos pasadas, pero mañana, al venir desplazadas 6,827º (más de los 4,33º grados límite), ya solo tendremos una, y eso sucederá durante dos días más en los cuales el satélite pasará una única vez en valores angulares de 13,654º y 20,481º a partir de A, hasta que al cuarto día vuelvan las dos pasadas, la primera a 3,638º y la segunda a 27,308º...

¿Y podemos pensar que este ciclo va a cumplirse siempre? ...pues me temo que no. Pese a trabajar con números simples y cálculos lineales, intuyo una posible iteracción con los límites que rompen esta linealidad con resultados todo o nada. Para desvelarlo hago un pequeño programa de ordenador en VB que para 60 días me arroja estos curiosos resultados...
Código:

 Día      1ª órb.   2ª órb.

- D 00   0          23,67
- D 01   6,827   
- D 02   13,654
- D 03   20,481
- D 04   3,638      27,308
- D 05   10,465
- D 06   17,292
- D 07   0,449      24,119
- D 08   7,276
- D 09   14,103
- D 10   20,930
- D 11   4,087      27,757
- D 12   10,914
- D 13   17,741
- D 14   0,898      24,568
- D 15   7,725
- D 16   14,552
- D 17   21,379
- D 18   4,536
- D 19   11,363
- D 20   18,190
- D 21   1,347      25,017
- D 22   8,174
- D 23   15,001
- D 24   21,828
- D 25   4,985
- D 26   11,812
- D 27   18,639
- D 28   1,796      25,466
- D 29   8,623
- D 30   15,450
- D 31   22,277
- D 32   5,434
- D 33   12,261
- D 34   19,088
- D 35   2,245      25,915
- D 36   9,072
- D 37   15,899
- D 38   22,726
- D 39   5,883
- D 40   12,710
- D 41   19,537
- D 42   2,694      26,364   
- D 43   9,521
- D 44   16,348
- D 45   23,175
- D 46   6,332
- D 47   13,159
- D 48   19,986
- D 49   3,143      26,813
- D 50   9,970
- D 51   16,797
- D 52   23,624
- D 53   6,781
- D 54   13,608
- D 55   20,435
- D 56   3,592      27,262
- D 57   10,419
- D 58   17,246
- D 59   0,403      24,073


... Vemos que hay veces que la doble órbita vuelve al 4º día, pero también las hay que es al 3º y otras al 7º... de hecho, durante en los dos meses de "exploración" no se reconoce ninguna pauta cíclica. Puede que ésta sea mayor, o que sin pensarlo nos encontremos ante un proceso caótico. De momento, sobre la estación situada en el ecuador y en estos dos meses tenemos 12 días de dos órbitas y 48 de una, por tanto una relación media de 1 a 4. El resto ya se verá...

Continuará...

Saludos a todos

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NotaPublicado: Dom Mar 04, 2018 5:20 pm 
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Fascinante y admirable trabajo que estás realizando.

Confieso que me cuesta un poco seguirlo y se me plantea una duda:
El PAZ se define como un satélite heliosíncrono. Con eso entiendo que pasa por la misma latitud a la misma hora del día.

"Orbit: Sun-synchronous dawn-dust orbit, altitude = 514 km, inclination = 97.44º, LTAN (Local Time of Ascending Node) at 18:00 hours. The nominal revisit period is 11 days (167 orbits within revisit period, 15 2/11 orbits per day)."

Tus cálculos tienen en cuenta esa condición?


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NotaPublicado: Dom Mar 04, 2018 9:17 pm 
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Hola Joseluis7696. Que el satélite sea heliosincrónico no significa que cada día a la misma hora esté sobre la misma latitud terrestre, si no que el plano que comprende su órbita siempre formará el mismo ángulo con la línea Tierra-Sol, con independencia de la posición que la Tierra ocupe durante su revolución anual alrededor del Sol. Para conseguir esto se utiliza un efecto gravitatorio debido al achatamiento de los polos, que en caso de órbitas algo inclinadas con respecto al eje terrestre y siempre que además giren en sentido contrario a la rotación del planeta, causa una precesión que va rotando día a día el plano orbital del satélite. Cada altura orbital entre las habituales quasipolares de entre 400 a 900 Km tiene su inclinación específica para conseguir este efecto, comprendida entre 97º y 99º grados. En el caso del PAZ, que orbita a 514 Km, la inclinación es de 97,44º.

Imagen


Respecto al PAZ, en realidad solo estoy utilizando su parámetro de altura, pero con una órbita a 90º que me simplifica los cálculos y deducciones. Y pasando sobre ambos polos, fuera a la altura que fuese, conseguir el heliosincronismo sería imposible ya que la órbita podría deformarse en su propio plano pero siempre mantendría la misma orientación espacial, y por tanto, respecto al Sol iría variando 360º a lo largo de un año.

Y que ventajas tiene la órbita sea heliosincrónica? Pues principalmente dos. La primera es que de esta forma se puede conseguir que periodicamente pase sobre los mismos puntos terrestres. En el PAZ este período es de 11 días, tras 167 órbitas, que corresponden a 15 2/11 órbitas por día (15,181818 orb/día). Y la segunda es que de esta forma se sabe exactamente las horas de luz y sombra que tendrán los paneles solares del satélite, que siempre serán las mismas excepto cuando intercepte brevemente el cono de sombra de la Luna, con lo cual se pueden dimensionar adecuadamente las baterías internas y el consumo de los sistemas.

El LTAN (Local Time of Ascending Node) que es un concepto nuevo para mí y se supone que es el punto horario en que el plano orbital de satélite corta el plano del ecuador, pero al principio no encontraba ningún sitio que especificara el imprescindible punto de referencia que no fuera terrestre, lo cual no me encajaba porque los puntos horarios referidos a Greenwich cambian con las horas del día, en cambio el LTAN es un parámetro fijo de la órbita.

Mi idea que tenía que ver con la línea Tierra-Sol la he corroborado al ver este diagrama...

Imagen


...en que queda claro desde donde se mide este ángulo horario. Un LTAN de 18:00 como el del PAZ (o de 6:00 como en el gráfico) mostraría el plano orbital perpenticular a la línea Tierra-Sol. El satélite siempre estaría iluminado, pero en cambio la zona terrestre que explorara no tendría demasiada luz. Un LTAN de 12:00 en cambio sería con el plano orbital totalmente en línea con la línea Tierra-Sol, un valor que dejaría al satélite casi con media órbita en la zona oscura terrestre. Supongo que el LTAN se elige dependiendo de las características que se desean, y en este caso, al ser el PAZ un satélite de observación militar, tal vez tengan en cuenta que las sombras que crean las imágenes al amanecer y el ocaso son útiles para determinar la altura y hasta el perfil de los objetos.

En fin, seguiremos explorando conceptos...

Saludos

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NotaPublicado: Lun Mar 05, 2018 9:00 am 
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Bueno, lo de la misma latitud lo había leído en un artículo cuando se lanzó el PAZ. Pero ahora no lo encuentro para comprobar qué decía exactamente.


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NotaPublicado: Lun Mar 05, 2018 9:33 am 
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La única manera que cada día a la misma hora esté en la misma latitud, sería que realizara un número entero de órbitas diarias, lo cual no es el caso del PAZ, cuyo parámetro es 15 2/11 (15,1818). Además, que estar a la misma latitud a a la misma ahora tampoco sería demasiado interesante. Una cosa distinta es que además estuviera también en la misma Longitud, con lo cual estaría sobre el mismo punto terrestre, pero eso tiene incluso desventajas, porque sobre todo en latitudes bajas dejaría sin explorar amplias franjas terrestres, y al ser un satélite militar resultaría aún más fácil determinar por donde pasa y a qué hora, con lo cual quien quisiera esconder algún vehículo o alguna actividad lo tendría perfecto.

De todas formas, no quiero remarcar mucho este detalle, porque no estamos hablando de órbita polar, si no de quasipolar con inclinación, que al ser heliosincrónica tiene una precesión de alrededor de 1º en 24 horas, con lo cual seria posible que esto compensara de alguna forma la fracción 2/11 de órbita adicional. No lo sé, porque para empezar dudo que los expertos orbitales utilicen la fórmula básica que relaciona altura orbital con velocidad y período, en la que sin duda deben tenerse en cuenta correcciones que desconozco, y más complejo aún debe ser calcular la precesión debida a la altura y la inclinación (la formula también la he encontrado, pero no es fácil de entender). Otro asunto puede ser la diferencia que supongo inevitable entre los cálculos previos y las características reales de la órbita que finalmente se obtiene, que tal vez sea pequeña, pero seguro que existe y debe ser tenida en cuenta para calcular los puntos de paso y las variaciones que con el tiempo puedan experimentar.

Lo que es seguro, es que la característica heliosincrónica de una órbita tiene que ver con el sol, no con parámetros terrestres como la latitud.

Saludos

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NotaPublicado: Lun Mar 05, 2018 9:59 am 
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Citar:
Lo que es seguro, es que la característica heliosincrónica de una órbita tiene que ver con el sol, no con parámetros terrestres como la latitud.

Es un concepto que no tengo nada claro. Lo que dicen en descripciones del satélite es que al ser heliosincrónica, las imágenes tomadas están siempre iluminadas igual (por el sol). Pero no es un satélite óptico... debería "ver" igual de noche y de día, ya que tiene su radar, no?


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NotaPublicado: Lun Mar 05, 2018 7:16 pm 
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Entonces, si es de radar se explica perfectamente que elijan una LTAN de 18:00, porque la luz de incidencia tan baja en el amanecer o el atardecer sobre el terreno explorado no importa en absoluto y en cambio los paneles del satélite estarán siempre iluminados por el Sol, lo cual debe ser más necesario para un sistema explorador basado en radar (por su previsible mayor consumo), que si simplemente toma imágenes.

Por cierto, la precesión diaria necesaria para que una órbita quasipolar sea heliosincrónica es de 360/365,242189 = 0,98564736º, o lo que es lo mismo 59' 8,3305", y evidentemente, esta precesión ha de tener signo negativo respecto al giro de la órbita terrestre alrededor del sol.

Saludos

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