Metrología básica ¿Alguien me ayuda?

[Vicente]

Hola,

Cuando queremos conocer el valor de una magnitud, la medimos varias veces y tomamos como valor más cercano al “verdadero” el valor medio (media aritmética o promedio) de las medidas. No es por capricho. Matemáticamente se demuestra que es la mejor opción y creo recordar que de esta forma se hace mínimo el error cuadrático medio.

Me encuentro estos días de vacaciones solo haciendo unas medidas y unas cuentas muy sencillas. Creo demostrar matemáticamente algo a lo que no encuentro ningún sentido (cada vez tengo más oxidadas las matemáticas). Me he atascado. Aunque debe ser evidente, no consigo ver dónde está mi error. A ver si alguno me ayuda a salir del atasco.

Gracias

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Supongamos que el valor verdadero (desconocido) de la magnitud que quiero medir es X y que al hacer la medición n veces obtenemos los valores X1, X2, X3…, Xn.

En cada medida Xi, el error cometido habrá sido Ei, es decir

E1 = X1 – X
E2 = X2 – X
E3 = X3 – X
…
En = Xn – X

Sumando las ecuaciones y dividiendo cada miembro por el número n de medidas:

(E1+E2+…+En)/n = (X1+X2+…+Xn)/n - X

El término (X1+X2+…+Xn)/n es el promedio de las medidas individuales (Xm), valor que vamos a tomar como el óptimo, así que -por comparación con las ecuaciones iniciales-, (E1+E2+…+En)/n debe ser el error Em asociado a dicho valor Xm.

Intentando entender por qué elegir Xm es cuando llego a la conclusión absurda. Veamos:

Los valores de los errores Ei=Xi-X de cada medida pueden ser positivos o negativos y como el valor de X es desconocido (no sabemos si Xi>X, Xi=X o Xi<X) el valor de la magnitud la solemos expresar como X=Xi±Ei.

Con esta forma de expresar los errores, todos los valores de Ei son positivos. El error asociado a Xm es (±E1±E2±…±En)/n donde el signo ± quiere decir + o -, y podemos concluir lo siguiente:

X=Xm±Em

con

Em = (±E1±E2±…±En)/n < (E1+E2+…+En)/n = (ΣEi)/n < ΣEi < Ei

En resumen, Em < Ei.

Es decir, el error Em –cometido al tomar el valor promedio de las mediciones individuales como mejor valor de la magnitud medida–, es menor que cualquiera de los errores Ei de estas medidas individuales (en valor absoluto).

Pero esto no parece tener sentido, pues si alguna de las medidas hubiese coincidido con el valor verdadero (Xi=X), su error habría sido cero (Ei=0). Incluso en este caso, el promedio de las medidas no coincidiría con el valor verdadero (Xm≠X), por lo que tendría un error Em≠0 que, con la notación empleada, sería positivo Em>0. Es decir Em>Ei, contrario a lo que aparentemente hemos demostrado.

Un saludo

[jordi3sk97]

Creo que idealizas el problema.
Esto es estadística . Es posible que hagas n mediciones y una de ellas sea correcta, por lo que la media siempre será incorrecta. (Esto ya lo mencionas)
Al hacer un promedio de medidas el error disminuye y por lo tanto tiende a 0, pero de ahí a expresar que X = Xm-Em hay un trecho. Creo que es aqui donde fallas. y puede que tuvieras que indicar que n tiene que ser infinito.

En la practica también se elimina la medida mayor y la menor antes de hacer la media.

Pero no se casi nada de matemáticas y lo que sabia ya esta olvidado, esto lo escribo siguiendo mi intuición, y soy incapaz de defenderlo con números.

[Vicente]

Creo que idealizas el problema. Esto es estadística .

No entiendo qué quieres decir con que idealizo el problema ni con que se trata de estadística. Ni veo qué otro punto de vista podría ayudarme a resolver la 'paradoja' que presento.

Es posible que hagas n mediciones y una de ellas sea correcta, por lo que la media siempre será incorrecta. (Esto ya lo mencionas)

Siempre siempre no, pero en general sí.

Al hacer un promedio de medidas el error disminuye y por lo tanto tiende a 0, pero de ahí a expresar que X = Xm-Em hay un trecho. Creo que es aqui donde fallas. y puede que tuvieras que indicar que n tiene que ser infinito.

Por definición, el valor exacto (X) siempre es el valor tomado menos el error absoluto que se comete al hacerlo. Y con el valor Xm no tiene por qué ser distinto.

Hay muchas formas de medir el error: error absoluto, relativo, cuadrático medio... En principio no todas tendrían que tender a cero cuando el número de medidas tiende a infinito y cuando se toma el valor de la media de las medidas como valor central, aunque es lógico utilizar una definición que sí lo haga. En el caso que estoy hablando eso ocurre con la media aritmética y el error cuadrático medio.

Pero esa no es la cuestión, porque yo en ningún momento considero el error cuadrático medio, sino el error absoluto. Y éste no lo considero tendente a cero (aunque pudiese serlo).

Por otra parte, en la práctica N nunca es infinito. Y yo estoy considerando una situación real, por tanto, con N finito y no necesariamente grande (en el problema original N=4).

En la practica también se elimina la medida mayor y la menor antes de hacer la media.

Esta es una práctica habitual con las medidas que claramente están muy desviadas, para que no desvirtúen la media. Puede ser una o varias medidas las que se eliminen. Pero aunque se consideren solo los datos restantes, seguiría produciéndose la paradoja que he expuesto.

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Precisamente he utilizado letras en vez de números para que se vea que ocurre igual independientemente de cuántas sean las medidas (N) y cuáles sean los valores de éstas (Xi). Estén muy alejados o no del valor 'verdadero' (X).

La 'paradoja' es que 'demuestro' que Em < Ei, para cualquier medida individual (cualquier i), es decir que el error cometido al tomar el valor medio es menor que el cometido con cualesquiera otros valores medidos, y sin embargo es fácil darse cuenta de que eso no es así cuando el valor medido Xi está más cerca del valor verdadero de lo que lo está la media Xm, en cuyo caso Ei < Em. Incluso si una medida, coincidiese por casualidad con el valor verdadero, haría Ei=0. Este es el caso límite que he expuesto para que claramente se vea que la demostración que previamente he expuesto tiene que estar mal. Lo que no encuentro es dónde me he equivocado al hacer la demostración.

Un saludo.

[heli]

La 'paradoja' es que 'demuestro' que Em < Ei, para cualquier medida individual (cualquier i)

Algo debes tener mal en la demostración...
Cuando calculas la media de un conjunto de valores, siempre hay un grupo de valores por encima de la media y otro por debajo de la media...

Creo que el problema es que usas el valor absouto para los cálculos, y no debes hacerlo. Los errores son positivos o negativos y es importante el signo...

Cuando el error tiene una distribución gaussiana, la media mejora la medida. Si los errores son arbitrarios y tienen otra distribución puede no ayudar...

[Vicente]

Hola,

Ya está resuelto.
El fallo es que con todos los Ei positivos, es falsa la afirmación ΣEi < Ei

Gracias a todos.

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